Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=2sinB，c=$\frac{3}{2}$b．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3$\sqrt{15}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得a=2b，从而利用余弦定理求出cosA，由此利用正弦定理能求出sinA．
（Ⅱ）由S=$\frac{1}{2}bcsinA$，求出bc=24，由此能求出b．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=2sinB，c=$\frac{3}{2}$b．
∴a=2b，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+\frac{9}{4}{b}^{2}-4{b}^{2}}{2b•\frac{3}{2}b}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（Ⅱ）∵S=$\frac{1}{2}bcsinA$，即$\frac{1}{2}bc•\frac{\sqrt{15}}{4}$=3$\sqrt{15}$，
解得bc=24，
又c=$\frac{3}{2}b$，∴$\frac{3}{2}{b}^{2}=24$，解得b=4．

点评 本题考查角的正弦值及边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．