Question

7．证明：$\sum_{i=1}^{n}$r${C}_{n}^{r}$=n2^n-1．

Answer 1

分析 根据组合数的公式，结合二项式定理，进行变形、应用即可．

解答 证明：∵$\underset{\stackrel{n}{∑}}{r=1}$r${C}_{n}^{r}$=$\underset{\stackrel{n}{∑}}{r=1}$n${C}_{n-1}^{r-1}$
=n$\underset{\stackrel{n}{∑}}{r=1}$${C}_{n-1}^{r-1}$
=n$\underset{\stackrel{n-1}{∑}}{s=0}$${C}_{n-1}^{s}$
=n（${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$+…+${C}_{n-1}^{n-1}$）=n2^n-1．

点评 本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．