Question

2．已知a+2b=1且b＞1，则$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$的取值范围（　　）

• A． （-∞，1-2$\sqrt{2}$]
• B． （-2，1-2$\sqrt{2}$]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$]
• D． [1+2$\sqrt{2}$，4]

Answer 1

分析 先求出a的范围，再根据基本不等式求出a的最大值，再构造函数，利用导数，求出函数的最小值，问题得以解决

解答 解：a+2b=1且b＞1，
∵b=$\frac{1-a}{2}$＞1，
∴a＜-1
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{a+2b}{a}$+$\frac{a}{b}$=1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$=1-（-$\frac{2b}{a}$-$\frac{a}{b}$）≤1-2$\sqrt{-\frac{2b}{a}•（-\frac{a}{b}）}$=1-2$\sqrt{2}$，当且仅当b=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=-1-$\sqrt{2}$时取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{2a}{1-a}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{1-a}$-2，
设f（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{1-x}$-2，x＜-1，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}（x-1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-2}{{x}^{2}（1-x）^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，
∴f（x）_min，＞f（-1）=-1+1-2=-2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b}$的取值范围为（-2，1-2$\sqrt{2}$]，
故选：B

点评 本题考查了导数的综合应用以及基本不等式的应用，同时考查了转化思想的应用及整体思想的应用，属于中档题．