Question

7．已知f（x）为定义在[0，2）上的函数，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosπx，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{1}{2}tan（πx+\frac{π}{2}），x∈（\frac{1}{2}，1）}\\{f（x-1），x∈[1，2）}\end{array}\right.$，则不等式f（2x-1）≤$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． [$\frac{1}{3}，\frac{3}{4}$]∪[$\frac{4}{3}，\frac{7}{4}$]
• B． [$\frac{2}{3}，\frac{3}{4}$]∪[1，$\frac{7}{4}$]
• C． [$\frac{2}{3}，\frac{7}{8}$]∪[$\frac{7}{6}，\frac{11}{8}$]
• D． [$\frac{4}{3}，\frac{7}{4}$]∪[$\frac{7}{3}，\frac{11}{4}$]

Answer 1

分析 对2x-1讨论，结合余弦函数和正切函数的图象和性质，解不等式，再由f（x）=f（x-1），讨论x的范围，最后求并集即可得到．

解答 解：①当0$≤2x-1≤\frac{1}{2}$，即有$\frac{1}{2}≤$x$≤\frac{3}{4}$，
由cosπ（2x-1）≤$\frac{1}{2}$，解得$\frac{π}{3}$≤π（2x-1）≤$\frac{π}{2}$，
即有$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{3}{4}$，
则为$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{3}{4}$；
②当$\frac{1}{2}＜$2x-1＜1，即$\frac{3}{4}$＜x＜1，
由$\frac{1}{2}$tan[π（2x-1）+$\frac{π}{2}$]$≤\frac{1}{2}$，
即有π＜2πx-$\frac{π}{2}$≤$\frac{5π}{4}$，
解得$\frac{3}{4}$＜x≤$\frac{7}{8}$，
则为$\frac{3}{4}$＜x≤$\frac{7}{8}$；
③当1≤x＜2，f（x）=f（x-1），
当1≤x＜$\frac{3}{2}$时，0≤x-1＜$\frac{1}{2}$，
f（x）=cosπ（x-1），
当$\frac{3}{2}$＜x＜2时，$\frac{1}{2}$＜x-1＜1，
f（x）=$\frac{1}{2}$tan[π（x-1）+$\frac{π}{2}$]，
当1≤2x-1＜$\frac{3}{2}$时，即1≤x＜$\frac{5}{4}$，
由cosπ（2x-2）$≤\frac{1}{2}$，
即有$\frac{π}{3}$≤π（2x-2）≤$\frac{π}{2}$，
解得$\frac{7}{6}$≤x≤$\frac{5}{4}$，即为$\frac{7}{6}$≤x≤$\frac{5}{4}$；
当$\frac{3}{2}$＜2x-1＜2时，即$\frac{5}{4}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
由$\frac{1}{2}$tan[π（2x-2）+$\frac{π}{2}$]$≤\frac{1}{2}$，
即有π＜π（2x-2）+$\frac{π}{2}$≤$\frac{5π}{4}$，
解得$\frac{5}{4}$＜x≤$\frac{11}{8}$，
则为$\frac{5}{4}$＜x≤$\frac{11}{8}$．
综上可得，不等式的解集为[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]∪（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]∪[$\frac{7}{6}$，$\frac{5}{4}$]∪（$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{8}$]
=[$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{8}$]∪[$\frac{7}{6}$，$\frac{11}{8}$]，
故选C．

点评 本题考分段函数的运用：解不等式，主要考查三角函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．