题目内容
已知函数f(x)=xn-
，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f（x1）-f（x2）|≤t成立，求t的最小值．
| 4 |
| x |
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f（x1）-f（x2）|≤t成立，求t的最小值．
考点：函数恒成立问题
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：（1）由f（4）=3可得n=1，于是f（x）=x-
，易求其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且f（-x）=-f（x），从而可判断其奇偶性；
（2）任取0＜x1＜x2，作差后整理得：f（x2）-f（x1）=（x2-x1）（1+
），易判断f（x2）-f（x1）＞0，于是知f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（3）依题意只需t≥|f（x1）-f（x2）|max，而≥|f（x1）-f（x2）|max=f（x）max-f（x）min=f（3）-f（1），从而可得t的最小值．
| 4 |
| x |
（2）任取0＜x1＜x2，作差后整理得：f（x2）-f（x1）=（x2-x1）（1+
| 4 |
| x1•x2 |
（3）依题意只需t≥|f（x1）-f（x2）|max，而≥|f（x1）-f（x2）|max=f（x）max-f（x）min=f（3）-f（1），从而可得t的最小值．
解答：
解：（1）∵f（4）=4n-1=3即4n=4，
∴n=1，
∴f（x）=x-
，
∵函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（-x）=-x+
=-（x-
）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）任取0＜x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）
=x2-x1-
+
=x2-x1+
（x2-x1）
=（x2-x1）（1+
），
∵0＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1•x2＞0，
∴（x2-x1）（1+
）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（3）依题意只需t≥|f（x1）-f（x2）|max，
又|f（x1）-f（x2）|max
=f（x）max-f（x）min
=f（3）-f（1）
=（3-
）-（1-4）
=
，
∴t≥
，
∴tmin=
．
∴n=1，
∴f（x）=x-
| 4 |
| x |
∵函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（-x）=-x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
∴f（x）是奇函数；
（2）任取0＜x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）
=x2-x1-
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
=x2-x1+
| 4 |
| x1•x2 |
=（x2-x1）（1+
| 4 |
| x1•x2 |
∵0＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1•x2＞0，
∴（x2-x1）（1+
| 4 |
| x1•x2 |
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（3）依题意只需t≥|f（x1）-f（x2）|max，
又|f（x1）-f（x2）|max
=f（x）max-f（x）min
=f（3）-f（1）
=（3-
| 4 |
| 3 |
=
| 14 |
| 3 |
∴t≥
| 14 |
| 3 |
∴tmin=
| 14 |
| 3 |
点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的奇偶性与单调性的判定与应用，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．
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