Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PO⊥AD，利用平面PAD⊥平面ABCD，能证明PO⊥平面ABCD．
（2）法1：推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，过A作AG⊥PD于G，连接GB，则GB⊥PD，∠AGB为二面角A-PD-B的平面角，由此能求出二面角A-PD-B的余弦值．
法2：（2）以O为原点，以OA为x轴，OP为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵△PAD是正三角形，O是AD中点，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD…．（5分）
解：（2）解法1：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，过A作AG⊥PD于G，连接GB，则GB⊥PD，
∴∠AGB为二面角A-PD-B的平面角，
在Rt△ABG中，$AG=\sqrt{3}，AB=2$，∴$GB=\sqrt{7}$，
∴$cos∠AGB=\frac{AG}{BG}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴二面角A-PD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
解法2：（2）以O为原点，以OA为x轴，OP为z轴，建立如图所示坐标系，
$A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，\sqrt{3}），C（-1，2，0）$
∴$\overrightarrow{PD}=（-1，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（1，2，-\sqrt{3}）$，
设平面PDB的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}z+x=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=x+2y-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow n=（-3，3，\sqrt{3}）$，
又∵CD⊥平面PAD，
∴平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，1，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{3}{{\sqrt{21}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴二面角A-PD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查垂直的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空中想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．