某新开业的冷饮店为了促销举办买冷饮送套圈活动:每买1元的冷饮送两次套圈的机会.套中即送成本价为a元的纪念杯一个．在一段时间内统计的消费金额和套中奖杯的个数之间的数据如下表且具有线性相关关系:消费金额x元2468121516获得纪念杯个数y1123455(Ⅰ)预计消费者在消费30元时可获得的纪念杯的个数,(Ⅱ) 试利用函数的单调性.讨论冷饮店的利润预期与纪念杯的成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．某新开业的冷饮店为了促销举办买冷饮送套圈活动：每买1元的冷饮送两次套圈的机会，套中即送成本价为a元（a＞0）的纪念杯一个．在一段时间内统计的消费金额和套中奖杯的个数之间的数据如下表且具有线性相关关系：

消费金额x元	2	4	6	8	12	15	16
获得纪念杯个数y	1	1	2	3	4	5	5

（Ⅰ）预计消费者在消费30元时可获得的纪念杯的个数；
（Ⅱ）试利用函数的单调性，讨论冷饮店的利润预期与纪念杯的成本价a之间的关系．
参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$（其中$\overline x$，$\overline y$分别是x与y的平均数）
提示：x₁y₁+x₂y₂+…+x₇y₇=245，${x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_7}^2=745$．

分析（Ⅰ）求出线性回归方程，令x=30，即可预计消费者在消费30元时可获得的纪念杯的个数；
（Ⅱ）$z=x-a（\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}）=（1-\frac{28}{89}a）x-\frac{15}{89}a$，讨论冷饮店的利润预期与纪念杯的成本价a之间的关系．

解答解：（Ⅰ）由题知$\overline x=\frac{2+4+6+8+12+15+16}{7}=9$，$\overline y=\frac{1+1+2+3+5+5+4}{7}=3$
设线性回归方程为$\hat y=\hat bx+\hat a$，则$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{28}{89}$
把点（9，3）代入线性回归方程中可求$\hat a=\frac{15}{89}$
线性回归方程为$\hat y=\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}$，
令x=30，得$\hat y≈10$
故获得的纪念杯的个数约为10个．…（6分）
（Ⅱ）设冷饮店的利润为z元，
则$z=x-a（\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}）=（1-\frac{28}{89}a）x-\frac{15}{89}a$
当$1-\frac{28}{89}a＞0$，即$0＜a＜\frac{89}{28}$时，利润预期为递增；
当$1-\frac{28}{89}a=0$，即$a=\frac{89}{28}$时，利润预期为常数$-\frac{15}{28}$，冷饮店亏损；
当$1-\frac{28}{89}a＜0$，即$a＞\frac{89}{28}$时，利润预期为递减；…（12分）

点评本题考查线性回归方程及函数的简单应用，精确的计算是解决本题的关键．