Question

14．如图，已知正三角形ABC的边长为6cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线从左至右移动，与三角形有公共点时，直线把三角形分成两部分．设BF=x．
（1）写出左边部分的面积y与x的函数关系式；
（2）画出函数的大致图象．

Answer 1

分析 （1）当0≤x≤3时，左侧图形为三角形，当3＜x≤6时，左侧图形面积等于△ABC的面积减去右侧三角形的面积；
（2）分段做出函数的图象．

解答 解：（1）当0≤x≤3时，EF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}x$，
∴y=S${\;}_{{\;}_{△BEF}}$=$\frac{1}{2}BF•EF$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²．
当3＜x≤6时，CF=6-x，∴EF=$\sqrt{3}CF$=$\sqrt{3}$（6-x），
∴y=S_△ABC-S${\;}_{{\;}_{△CEF}}$=$\frac{1}{2}×6×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+6$\sqrt{3}$x-9$\sqrt{3}$．
∴y与x的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}，0≤x≤3}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+6\sqrt{3}x-9\sqrt{3}，3＜x≤6}\end{array}\right.$．
（2）作出函数的大致图象如下：

点评 本题考查了分段函数的图象，函数解析式的求解，属于中档题．