Question

已知函数f（x）=（x²+ax+3）e^x（x∈R）在x=2处的切线的斜率为2e²．
（1）求函数f（x）的解析式并求单调区间；
（2）设g（x）=

f′(x)

ex

，其中x∈[-2，m），问：对于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在区间（-2，m）上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数．若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）=（x²+ax+3）e^x（x∈R）在x=2处的切线的斜率为2e²，求出a的值，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）假设方程g（x）=

2

3

（m-1）²在区间（-2，m）上存在实数根．设x₀是方程g（x）=

2

3

（m-1）²的实根，x02-x0=

2

3

（m-1）²，令h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²，从而问题转化为证明方程h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²=0在（-2，m）上有实根，并讨论解的个数．

解答： 解：（1）由已知得f'（x）=[x²+（a+2）x+（a+3）]e^x…（1分）
所以f'（2）=2e²=（11+3a）e²
故a=-3，即f（x）=（x²-3x+3）e^x．  …（3分）
由f′（x）=（x²-x）e^x＞0得x＜0或x＞1；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
故f（x）单调增区间是（-∞，0），（1，+∞），单调减区间是（0，1）…（5分）．
（2）假设方程g（x）=

2

3

（m-1）²在区间（-2，m）上存在实数根
设x₀是方程g（x）=

2

3

（m-1）²的实根，x02-x0=

2

3

（m-1）²，
令h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²，从而问题转化为证明方程h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²=0在（-2，m）上有实根，并讨论解的个数…（7分）
因为h（-2）=6-

2

3

（m-1）²=-

2

3

（m+2）（m-4），h（m）=m（m-1）-

2

3

（m-1）²=

1

3

（m+2）（m-1），
所以
①当m＞4或-2＜m＜1时，h（-2）h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解
②当1＜m＜4时，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于h（0）=-

2

3

（m-1）²＜0，
所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有两解 …（10分）
③当m=1时，h（x）=x²-x=0，所以x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；
当m=4时，h（x）=x²-x-6=0，所以x=-2或x=3，
所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解…（12分）
综上所述，对于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

（m-1）²在区间（-2，m）上均有实数根
且当m≥4或-2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析转化问题的能力，正确分类是关键．