Question

9．已知圆M的圆心为M（-1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为$\sqrt{2}$，点P在直线l：y=x-1上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点Q在圆M上，且满足$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出M（-1，2）到直线y=x+4的距离，利用直线y=x+4被圆M截得的弦长为$\sqrt{2}$，求出半径，即可求圆M的标准方程；
（2）设点Q在圆M上，且满足$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，求出P的轨迹方程与直线y=x-1联立，即可求点P的坐标．

解答 解：（1）M（-1，2）到直线y=x+4的距离为d=$\frac{|-1-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
又直线y=x+4被圆M截得的弦长为$\sqrt{2}$，
所以圆M的半径为r=1，…（4分）
∴圆M的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=1．…（6分）
（2）由$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，得|$\overrightarrow{MP}$|=4|$\overrightarrow{QM}$|=4，
所以点P在圆（x+1）²+（y-2）²=16上，…（8分）
又点P在直线y=x-1上，联立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即点P的坐标为（-1，-2）或（3，2）．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．