题目内容
13．
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
分析 （I）作OC⊥AB，则OC为小艇的最短航行路程，求出轮船的航行时间和OC的距离即可得出小艇的航行速度；
（II）设小艇与轮船在B处相遇，利用余弦定理计算航行时间t，得出AB，OB距离，从而得出∠COB的度数，得出航行方案．
解答 
解：（I）过O作OC⊥AB，垂足为C，则OC=OAcos30°=10$\sqrt{3}$，
故当小艇航行距离最短时的路程为10$\sqrt{3}$．
轮船航行路程为AC=$\frac{1}{2}$OA=10，
∴航行时间为t=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$，
∴小艇的航行速度为$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}$=30$\sqrt{3}$海里/时．
（II）设小艇与轮船在B处相遇，
在△AOB中，∠OAB=60°，OB=30t，AB=30t，OA=20，
由余弦定理得：OB2=AB2+OA2-2×AB×OAcos∠OAB
即（30t）2=400+900t2-1200tcos60°
∴600t=400
解得：t=$\frac{2}{3}$，∴AB=OB=20，
∴△OAB为等边三角形，∴∠BOC=30°．
故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
点评 本题考查了解三角形的应用，余弦定理，属于中档题．
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