Question

19．若函数$f（x）=-\frac{1}{{\sqrt{b}}}{e^{\sqrt{ax}}}（a＞0，b＞0）$的图象在x=0出的切线与圆x²+y²=1相切，则2^a+2^b的最小值是（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用导数求出切线方程，利用直线与圆的位置关系得出a+b=1，再利用基本不等式，即可求出2^a+2^b的最小值．

解答 解：∵$f'（x）=-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{b}}}{e^{\sqrt{a}}}^x，\;\;∴f'（0）=-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{b}}}$，
切点为$（{0，\;\;-\frac{1}{{\sqrt{b}}}}）$，
由切线方程$y=-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{b}}}x-\frac{1}{{\sqrt{b}}}$与圆x²+y²=1相切得a+b=1，
∴${2^a}+{2^b}≥2\sqrt{{2^{a+b}}}=2\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．