Question

20．已知函象y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]，若y=g（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案

解答 解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=log_ax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（log_ax）²+（log_a2-1）log_ax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，y=log_ax为增函数，
令t=log_ax，t∈[$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$，log_a2]，要求对称轴-$\frac{lo{g}_{a}^{2}-1}{2}$$≤lo{g}_{a}^{\frac{1}{2}}$，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，y=log_ax为减函数，
令t=log_ax，t∈[log_a2，log${\;}_{a}^{\frac{1}{2}}$]，要求对称轴$-\frac{lo{g}_{a}^{2}}{2}≥lo{g}_{a}^{\frac{1}{2}}$，
解得a≤$\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]，
故答案为（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减