Question

12．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，点A，C分别为椭圆C的左顶点和上顶点，点F为椭圆的右焦点，设过点A的直线交椭圆C与另一点M．
（Ⅰ）当F关于直线AM的对称点在y轴上时，求直线AM的斜率；
（Ⅱ）记点F关于点M的对称点为P，连接PC交直线AM与点Q，当点Q是线段AM的中点时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （I）设点F关于直线AM的对称点为N，线段FN的中点为D．设直线AM的方程为：y=k（x+2），（k≠0），直线FN的方程为y=-$\frac{1}{k}（x-1）$，联立解出D的坐标，再利用中点坐标公式即可得出k．
（II）设M（x₀，y₀），直线AM的方程y=k（x+2）与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，利用根与系数的关系可得M坐标，利用中点坐标可得线段AM的中点Q．由${x}_{0}=\frac{1+{x}_{P}}{2}$，${y}_{0}=\frac{0+{y}_{P}}{2}$，可得P（2x₀-1，2y₀）．直线PC的方程为：$y=\frac{2{y}_{0}-\sqrt{3}}{2{x}_{0}-1}$x+$\sqrt{3}$，把点Q的坐标代入解得k的值即可得出．

解答 解：（I）A（-2，0），C（0，$\sqrt{3}$），F（1，0）．设点F关于直线AM的对称点为N，线段FN的中点为D．
设直线AM的方程为：y=k（x+2），（k≠0），直线FN的方程为y=-$\frac{1}{k}（x-1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\end{array}\right.$，解得D$（\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}，\frac{3k}{{k}^{2}+1}）$，则$\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{0+1}{2}$，化为：k²=$\frac{1}{5}$，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（II）设M（x₀，y₀），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
△=256k⁴-16（4k²-3）（4k²+3）=9＞0．
∴-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，解得x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
可得线段AM的中点Q$（\frac{{x}_{0}-2}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，即Q$（\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{6k}{3+4{k}^{2}}）$．
由${x}_{0}=\frac{1+{x}_{P}}{2}$，${y}_{0}=\frac{0+{y}_{P}}{2}$，可得P（2x₀-1，2y₀）．
直线PC的方程为：$y=\frac{2{y}_{0}-\sqrt{3}}{2{x}_{0}-1}$x+$\sqrt{3}$，化为：y=$\frac{24k-3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{9-20{k}^{2}}$x+$\sqrt{3}$，
把点Q的坐标代入可得：$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24k-3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{9-20{k}^{2}}$×$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+$\sqrt{3}$，
化为：16$\sqrt{3}$k⁴+24k³+18k-9$\sqrt{3}$=0，
∴$\sqrt{3}$$[（2k）^{4}-（\sqrt{3}）^{4}]$+6k（4k²+3）=0，
∴（4k²+3）$（4\sqrt{3}{k}^{2}+6k-3\sqrt{3}）$=0，
∴$4\sqrt{3}{k}^{2}$+6k-3$\sqrt{3}$=0，
解得k=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$或$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{15}}{4}$．
∴M$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{15}}{5}）$或$（-\frac{2\sqrt{5}}{5}，-\frac{2\sqrt{15}}{5}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．