题目内容

19．已知x1，x2是方程x2-3x+1=0的两个实根，则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=3；x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$=7．x${\;}_{1}^{3}$+8x2=21．

分析 根据已知结合韦达定理可得x1+x2=3，x1•x2=1，进而可得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$，x${\;}_{1}^{3}$+8x2的值．

解答 解：∵x1，x2是方程x2-3x+1=0的两个实根，
∴x1+x2=3，x1•x2=1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=3，
x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$=x${\;}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x1+x2）2-2x1•x2=7，
x${\;}_{1}^{3}$+8x2=x${\;}_{1}^{3}$+[（x1+x2）2-x1•x2]x2=x${\;}_{1}^{3}$+x12•x2+x1•x22+x23=（x1+x2）3-2（x1+x2）•x1•x2=27-2×3×1=21，
故答案为：3，7，21

点评 本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），转化思想，难度中档．

练习册系列答案
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A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
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A．1B．-$\frac{1}{9}$C．-9D．-$\frac{1}{9}$或-9

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