Question

11．已知双曲线C₂与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C₂的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．

解答 解：双曲线C₂与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1具有相同的焦点，可得c=1，
两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，
$1=\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}$≥2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}•\frac{{n}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}mn$，当且仅当$\sqrt{3}m=2n$时，mn≤$\sqrt{3}$，此时四边形的面积取得最大值，
解得m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得双曲线的实轴长2a=$\sqrt{（\sqrt{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$-$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{9+4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
双曲线的离心率为：$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．