Question

【题目】已知椭圆： （）的焦距为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）、是椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】【试题分析】（Ⅰ）由题设条件先求出左、右焦点坐标， ，再借助椭圆定义求得，进而求得椭圆方程；（Ⅱ）先建立直线的方程为，借助坐标之间的关系计算， 到直线的距离， 的面积函数，最后借助，从而求得：若，则，等号当且仅当时成立；若，则， ，等号当且仅当， 时成立，最后求得面积的最大值为：

解析：（Ⅰ）依题意， ，椭圆的焦点为，

所以，椭圆的方程为

（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线与轴不垂直，设直线：

由得，

设， ，则，

， 到直线的距离， 的面积

依题意， ， ，

， ，代入整理得，

若，则，等号当且仅当时成立

若，则， ，等号当且仅当， 时成立。

综上所述， 面积的最大值为