Question

【题目】函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,方程在区间内有唯一实数解,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) 或.

【解析】试题分析：

(1)求导,分类讨论得f(x)的单调区间即可；

(2)问题转化为有唯一实数解；构造函数,求导得或.

试题解析：

(1) ,

(i)当时, ,令,得,令,得,

函数f(x)在上单调递增, 上单调递减;

(ⅱ)当时,令,得

令,得,令,得,

函数f(x)在和上单调递增, 上单调递减;

(ⅲ)当时, ,函数f(x)在上单调递增;

(ⅳ)当时,

令,得,令,得,

函数f(x)在和上单调递增, 上单调递减;

综上所述:当时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;

当时,函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为;

当时,函数f(x)的单调递增区间为;

当时,函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为

(2)当时, ,由,得,又,所以,

要使方程在区间上有唯一实数解,只需有唯一实数解；

令,∴,

由得得,

∴在区间上是增函数,在区间上是减函数.

,

故或