Question

【题目】图1，平行四边形中， ， ，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点为侧棱的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）在的角平分线上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面几何知识先证明，再由线面垂直的判定的定理可得平面，从而得，进而可得平面，最后由由线面垂直的判定的定理可得结论；（Ⅱ）由等积变换可得，进而可得结果；（Ⅱ）取中点，连接并延长至点，使，连接， ， ，先证四边形为平行四边形，则有∥，利用平面几何知识可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，有，又因为为侧棱的中点，

所以；

又因为， ，且，所以平面.

又因为平面，所以；

因为，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）解：因为， 平面，所以是三棱锥的高，

故，

又因为， , ，所以，

所以有 .

（Ⅲ）解：取中点，连接并延长至点，使，连接， ， .

因为，所以射线是角的角分线.

又因为点是的中点，所以∥，

因为平面， 平面，

所以∥平面.

因为、互相平分，

故四边形为平行四边形，有∥.

又因为，所以有，

又因为，故.