Question

【题目】已知， .

（1）求函数的极值；

（2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；

（3）求证：当时， .

Answer 1

【答案】（1）， 无极大值；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；（2）由对函数求导得到函数在上单调递减， 单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；（3）问题等价于，由（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.

试题解析：（1）

∴

由得，由，得

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴， 无极大值.

（2）

∴

又，易得在上单调递减，在上单调递增，

要使函数在内有两个零点，

需，即，∴，

∴，即的取值范围是.

（3）问题等价于

由（1）知的最小值为

令（）

∴

易知在上单调递增， 上单调递减

∴

又

∴，

故当时， 成立