题目内容

已知直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2， $数学公式$ ， $数学公式$ ，椭圆F以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆F的方程；
（2）若点E满足 $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ，是否存在不平行于AB的直线L与椭圆F交于M、N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线L与AB夹角的范围；若不存在，说明理由．

解：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴
建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）．c=1
设椭圆F方程为： $\text{[math]}$
，D（-1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上代入可得 $\text{[math]}$
∴椭圆F的方程是： $\text{[math]}$ ．（7分）
（2）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 得：E（0， $\text{[math]}$ ），若L⊥AB，则与题意不符，
故可设L：y=kx+m（k≠0）
由　 $\text{[math]}$ ，
若M、N存在，则△＞0即64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0，4k²+3＞m²，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点F（x₀，y₀），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ∴4k²+3＜4
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ 且k≠0
∴L与AB的夹角的范围是（0， $\text{[math]}$ ）．（14分）
分析：（1）考虑先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设椭圆F方程为： $\text{[math]}$ ，则由题意可得c=1，D（-1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上代入可求a，b，从而可求椭圆得方程
（2）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 可求E（0， $\text{[math]}$ ），若L⊥AB，则与题意不符，可设L：y=kx+m（k≠0），由直线与椭圆有2个交点可得△＞0，即4k²+3＞m²，利用方程根与系数关系可求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 从而可求
点评：利用椭圆（抛物线、双曲线）得性质求解相应的方程是圆锥曲线得常考试题，解题的关键是要灵活利用圆锥曲线的性质．