Question

7．已知中心在坐标原点的椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点，且椭圆E的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点C（-1，0）的动直线与椭圆E相交于A，B两点．若线段AB的中点的横坐标是-$\frac{1}{2}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得椭圆的a，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系，可得b，即可得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得斜率，进而得到直线方程．

解答 解：（1）抛物线y²=4$\sqrt{5}$x的焦点为（$\sqrt{5}$，0），
由题知椭圆E的焦点在x轴上，且a=$\sqrt{5}$，
又c=ea=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$=1，
故b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$═$\sqrt{5-1}$=2，
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将其代入$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消去y，整理得
（4+5k²）x²+10k²x+5k²-20=0，
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
则△=80k²+80＞0，故x₁+x₂=-$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，
由线段AB中点的横坐标是-$\frac{1}{2}$，得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{5{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{2}{\sqrt{5}}$，成立．
所以直线AB的方程为2x-$\sqrt{5}$y+2=0或2x+$\sqrt{5}$y+2=0．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．