Question

15．已知P（t，3t），t∈R，M是圆O₁：（x+2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的动点，N是O₂：（x-4）²+y²=$\frac{1}{4}$上的动点，则|PN|-|PM|的最大值是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$+1
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}-1$
• C． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$+1
• D． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 先根据两圆的方程求出圆心和半径，把求|PN||-|PM|的最大值转化为|PO₁|-|PO₂|+1的最大值，再利用|PO₁|-|PO₂|=|PE′|-|PO₂|≤|E′O₂|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，求出所求式子的最大值．

解答 解：圆O₁：（x+2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的圆心O₁（-2，0），圆O₂：（x-4）²+y²=$\frac{1}{4}$的圆心O₂（4，0），这两个圆的半径都是$\frac{1}{2}$．
要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PO₁|+$\frac{1}{2}$，|PM|的最小值为|PO₂|-$\frac{1}{2}$，
故|PN||-|PM|最大值是|PO₁|-|PO₂|+1，
点P（t，3t）在直线y=3x上，O₁（-2，0）关于y=3x的对称点E′（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
则|PO₁|-|PO₂|=|PE′|-|PO₂|≤|E′O₂|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，故|PF|-|PE|+1的最大值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+1，
故选：C．

点评 本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想．