Question

数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

(n∈N*)，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

• A、-672
• B、-671
• C、2012
• D、672

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由于a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

=

- 1 2 ，n=3k+2或3k+1 1，n=3k

，可得S₂₀₁₂=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂），代入解出即可．

解答： 解：∵a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

=

- 1 2 ，n=3k+2或3k+1 1，n=3k

，
∴S₂₀₁₂=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）
=1+1+670×1
=672．
故选：D．

点评：本题考查了三角函数与数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．