Question

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程式为ρ=2，P是曲线C上的动点，A（2，0），M是线段AP的中点，曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m．
（Ⅰ）求点M轨迹C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）当曲线C₁与曲线C₂有两个公共点时，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,简单曲线的极坐标方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2，可得直角坐标方程x²+y²=4．可设曲线C的参数方程，P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）再利用中点坐标公式即可得出．
（II）曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m，可化为x+y-m=0，与x²+y²=4联立，利用曲线C₁与曲线C₂有两个公共点，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2，可得x²+y²=4．
可设曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ

，
设P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）
则

x=cosθ+1 y=sinθ

，
消去θ可得点M的轨迹方程为：（x-1）²+y²=1（x≠2）；
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m，可化为x+y-m=0，
与x²+y²=4联立可得2x²-2mx+m²-4=0，
∵曲线C₁与曲线C₂有两个公共点，
∴△=4m²-8（m²-4）＞0，
∴-2

2

＜m＜2

2

．

点评：本题综合考查了圆的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程及中点坐标，属于中档题．