题目内容

在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足 $数学公式$ ，则P是△ABC的

A.
外心
B.
内心
C.
重心
D.
垂心

D
分析：由题意得 OA=OB=OC=OP， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ ⊥AB，
P 在AB边的高线上．同理可证，P 在BC边的高线上．
解答：在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足 $\text{[math]}$ ，∴OA=OB=OC=OP，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设AB的中点为D，则OD⊥AB， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ⊥AB，∴P 在AB边的高线上．同理可证，P 在BC边的高线上，故P是三角形ABC两高线的交点，
故P是三角形ABC的垂心，
故选 D．
点评：本题考查向量的几何表示，向量的加减法及其几何意义，等腰三角形的性质，三角形的垂心的定义．

练习册系列答案

=2，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则

=3．
其中类比的结论正确的个数是（　　）

在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，若△ABC所在平面α外的一点P到三个顶点A、B、C的距离都为13，点P在α内的射影是O，则线段PO的长为（　　）

在平面上有如下命题“0为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：存在实数x，y满足

=x•

+y•

，且x+y=1”，类比此命题，给出在空间中相应的一个正确命题是

O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x，y，z满足

且x+y+z=1．

O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：存在实数x，y，z满足

且x+y+z=1．

．

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足

．
（1）证明：b+c=2a；
（2）如图，点O是△ABC外一点，设∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，当b=c时，求平面四边形OACB面积的最大值．

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD

∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足，则P是△ABC的

试题分类

在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足 $数学公式$ ，则P是△ABC的