题目内容
如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、
PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)若ÐPDA=45°求EF与平面ABCD所成的角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用,以及线面角的求解的综合运用
第一问中,利用连AC,设AC中点为O,连OF、OE在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
第二问中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF.
第三问中,若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC ∵ EOBC,FOPA
∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
证:连AC,设AC中点为O,连OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………① 在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF.
(3)若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC ∵ EOBC,FOPA
∴ FO=EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
(1)见解析 (2)见解析 (3) ÐFEO=45°