Question

15．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，△ABF₂的周长等于4$\sqrt{3}$，点A、B在椭圆C上，且F₁在边AB上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆定义及△ABF₂的周长等于4$\sqrt{3}$可知a=$\sqrt{3}$，利用$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$可知$c=\sqrt{2}$，通过$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$可知b=1，进而可得结论；
（2）通过设P（x₀，y₀）及过P点的直线为y-y₀=k（x-x₀），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵△ABF₂的周长等于4$\sqrt{3}$，且F₁在边AB上，
∴（BF₁+BF₂）+（AF₁+AF₂）=4$\sqrt{3}$，
∴$2a+2a=4\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$，
又∵$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$c=\sqrt{2}$，
∴$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3-2}$=1，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）依题意，设P（x₀，y₀），设过P点的直线为y-y₀=k（x-x₀），
记b=-kx₀+y₀，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：
x²+3k²x²+6kbx+3b²-3=0，
令△=0，得9k²b²-3b²-9k²b²+9k²+3=0，
∴9k²-3b²+3=0，即3k²-b²+1=0，
又∵b=-kx₀+y₀，
∴3k²-k²x₀²+2kx₀y₀-y₀²+1=0，
∵△=3y₀²+x₀²-3＞0，
∴k₁•k₂=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}+1}{3-{{x}_{0}}^{2}}$，
又∵x₀²+y₀²=4，即y₀²=4-x₀²，
∴k₁•k₂=$\frac{-（4-{{x}_{0}}^{2}）+1}{3-{{x}_{0}}^{2}}$=-1，
∴过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，
∴MN为圆O的直径，
显然当P点为P（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为$\frac{1}{2}•$4•2=4．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．