Question

9．已知集合M={x|x≥1或x≤0}，设不等式x²-ax+（a²-1）≥0的解集为N．
（1）若M=N，求a的值；
（2）若M⊆N，求a的取值范围；
（3）若该不等式在∁_RM上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据M=N，可得0+1=a，0•1=a²-1，即可求a的值；
（2）设f（x）=x²-ax+（a²-1），利用M⊆N，可得f（0）≥0且f（1）≥0，即可求a的取值范围；
（3）由题意，函数在（0，1）有解，只需求出在[0，1]没有解的a的取值范围就可以求a的取值范围．

解答 解：（1）∵M=N，
∴0+1=a，0•1=a²-1，
∴a=1；
（2）设f（x）=x²-ax+（a²-1），
∵M⊆N，∴f（0）≥0且f（1）≥0，
代入函数有a²≥1，a²-a≥0，得a≥1．；
（3）由题意，函数在（0，1）有解，只需求出在[0，1]没有解的a的取值范围就可以．
则f（0）=a²-1≤0，且f（1）=a²-a≤0，∴a∈[0，1]．
∴函数在（0，1）有解时，a＜0或a＞1．

点评 本题考查集合的关系，考查函数思想的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．