题目内容

过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且直线AB的倾斜角为α，则以下正确的有：
 
．
（1）y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
；
（2）|AB|=x1+x2+p；
（3）S△AOB=
2ρ
sin2α
；
（4）|AF|=
p
1-cosα

（5）
1
|AF|
+
1
|BF|
=
2
p

（6）|BF|=
p
1+cosα
；
（7）以AB为直径的圆与抛物线的准线相交．
考点：命题的真假判断与应用,抛物线的简单性质
专题：阅读型,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设AB：x=
p
2
或y=k（x-
p
2
），联立抛物线方程，由韦达定理，即可得到；
（2）由抛物线的定义可得；
由抛物线的定义可得BF=BD=p+BFcosα，则|BF|=
P
1-cosα
，同理可得|AF|=
p
1+cosα
，可判断（4）、（5）、（6）；
（3）S△AOB=
1
2
×
p
2
×（BFsinα+AFsinα），代入AF，BF即可得到；
（7）由于AB的中点到准线的距离等于AC与BD的和的一半，由抛物线的定义，即可判断．
解答： 解：（1）设AB：x=
p
2
或y=k（x-
p
2
），若x=
p
2
，
则y2=p2，y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
，
由y=k（x-
p
2
）和抛物线方程，得到k2x2-（kp+2p）x+
k2p2
4
=0，
则x1x2=
p2
4
，y1y2=-
4p2•
p2
4
=-p2．故（1）对；
（2）由抛物线的定义可得，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p，故（2）对；
（3）S△AOB=
1
2
×
p
2
×（BFsinα+AFsinα）=
psinα
4
（
P
1-cosα
+
p
1+cosα
）=
2p
sin2α
•
psinα
4
=
p2
2sinα
，故（3）错；
由抛物线的定义可得BF=BD=p+BFcosα，
则|BF|=
P
1-cosα
，同理可得|AF|=
p
1+cosα
，故（4）、（6）不正确；
则
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1-cosα
p
+
1+cosα
p
=
2
p
，故（5）对；
（7）由于AB的中点到准线的距离等于AC与BD的和的一半，由抛物线的定义，即为AB的一半，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．故（7）错．
故答案为：（1）（2）（5）．
点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理求解，考查平面几何知识，属于中档题．
练习册系列答案
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．
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．
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．
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2
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y
x
的取值范围为（　　）
A、[12，+∞）
B、[0，3]
C、[1-
2
，1+
2
]
D、（-∞，1-
2
]∪[1+
2
，+∞）

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