Question

13．已知点P在函数f（x）=xe^x的图象上．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得切点坐标和函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程；
（II）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，即可求得函数y=f（x）的单调区间和极值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xe^x，f（1）=e，求导f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
∴f′（1）=2e，
∴点P（1，f（1））处的切线方程y-f（1）=f′（1）（x-1），即y-e=2e（x-1），
整理得：y=2ex-e，
曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程y=2ex-e；
（II）∵函数f（x）=xe^x的定义域为R，
f'（x）=（xe^x）′=x′e^x+x（e^x）′=e^x+xe^x，
令f'（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
则x，f′（x），f（x）的变化：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴可知函数f（x）=xe^x的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．
当x=-1时，函数f（x）=xe^x的极小值为f（-1）=-$-\frac{1}{e}$，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及极值，考查转化思想，属于中档题．