Question

18．若动直线x=t（t∈R）与函数f（x）=cos²（$\frac{π}{4}$-x），g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）的图象分别交于P、Q两点，则线段PQ长度的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的二倍角公式化简f（x）和g（x），|PQ|=|f（t）-g（t）|，即求=|f（t）-g（t）|的最大值．

解答 解：函数f（x）=cos²（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{2}-2x$）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$；
函数g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x．
由题意，|PQ|=|f（t）-g（t）|，即|PQ|=$\frac{1}{2}$sin2t+$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2t|=|sin（2t-$\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$|．
当sin（2t-$\frac{π}{3}$）取得最大值时，可得|PQ|的最大值．
∴|PQ|的最大值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的二倍角公式化简计算能力和三角函数图象性质的运用，属于中档题．