Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根

1

2

，则f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数为（　　）

• A、1006
• B、1007
• C、2013
• D、2014

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可推出f（x）=0的根为x=k+

1

2

，k∈Z；从而得到f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数．

解答： 解：∵f（x）=f（-x+2），
∴f（x）的图象关于x=1对称，
又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根

1

2

，
∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根

3

2

，
故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根

1

2

，

3

2

；
又∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）是周期为2的函数，
故f（x）=0的根为x=k+

1

2

，k∈Z；
故f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数为2013，
故选C．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．