Question

设点P在椭圆

x2

4

+y²=1上，求P到直线x-2y+3

2

=0的距离的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值时点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出与直线x-2y+3

2

=0平行的切线方程，和椭圆方程联立后由判别式等于0求得两切线方程，由平行线间的距离公式求得椭圆上点P到直线x-2y+3

2

=0的距离的最大值和最小值，并通过求解方程得到P点坐标．

解答： 解：设与直线x-2y+3

2

=0平行的直线方程为x-2y+m=0，
联立

x-2y+m=0 x2 4 +y2=1

，得2x²+2mx+m²-4=0．
由△=（2m）²-8（m²-4）=0，解得：m=±2

2

．
∴与直线x-2y+3

2

=0平行，且与椭圆

x2

4

+y²=1相切的切线方程为x-2y-2

2

=0或x-2y+2

2

=0．
当切线方程为x-2y-2

2

=0时，切点P到直线x-2y+3

2

=0的距离最大，为

|3 2 +2 2 |

12+(-2)2

=

10

．
由2x2-4

2

x+4=0，求得P（

2

，-

2

2

）；
当切线方程为x-2y+2

2

=0时，切点P到直线x-2y+3

2

=0的距离最小，为

|3 2 -2 2 |

12+(-2)2

=

10

5

．
由2x2+4

2

x+4=0，求得P（-

2

，

2

2

）．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．