Question

已知c＞0，设命题P：函数y=-c^-x为减函数；命题q：当x∈[

1

2

，3]时，函数f（x）=x+

1

x

＞

1

c

恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析：利用复合指数函数的单调性求命题P为真的c的范围；先求f（x）的最小值，分析函数f（x）=x+

1

x

＞

1

c

恒成立的条件，然后解出命题q为真命题的c的范围；
根据p或q为真命题，p且q为假命题，则P、q命题一真一假，求解．

解答：解：∵c＞0，y=-c^-x为减函数，∴0＜c＜1，
∵函数y=x+

1

x

在[

1

2

，1]递减，在[1，3]上递减，
∴在[

1

2

，3]上的值域是：y∈[2，

10

3

]，
∵y＞

1

c

恒成立，∴

1

c

＜2⇒c＞

1

2

∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴P、q命题一真一假

∵c＞0，∴c≥1或0＜c≤

1

2

综上 c∈{c|0＜c≤

1

2

或c≥1}

点评：本题考查复合命题的真假判定，要注意用数学结合进行数集的交、并、补运算．要注意端点能否取到，这是此类题的易错点．