Question

已知c＞0，设命题p：函数y=（3c-1）x在R上单调递减；命题q：曲线y=4x²+4cx+c²-2c+1与x轴交于不同两点．若命题P或q为真，￢q为真，求c的取值范围．

Answer 1

分析：根据一次函数的单调性求得命题p为真时c的取值范围；利用△＞0求出命题q为真时c的范围，
根据复合命题真值表知，如果p∨q为真，则命题P或q为真，￢q为真，则命题q为假命题，命题p为真命题，由此可求c的范围．

解答：解：∵函数y=（3c-1）x在R上单调递减，
∴3c-1＜0⇒0＜c＜

1

3

，
故命题p为真命题时，0＜c＜

1

3

；
由曲线y=4x²+4cx+c²-2c+1与x轴交于不同两点，
得△=16c²-16（c²-2c+1）＞0⇒c＞

1

2

，
故命题q为真时，c＞

1

2

，
由复合命题真值表知，P或q为真，￢q为真，则命题q为假命题，命题p为真命题，
∴

0＜c＜ 1 3 c≤ 1 2

⇒0＜c＜

1

3

，
故c的取值范围是（0，

1

3

）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了一次函数的单调性及一元二次方程根的判定，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时的条件．