Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点，记椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，直线与直线分别交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作椭圆的切线，记，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为 （2）

【解析】试题分析：

(1)由题意求得， ， ，故椭圆的方程为.

(2)很明显直线的斜率存在，设出切线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数 的不等式组，结合不等式组的性质和题意讨论可得.

试题解析：

（1）依题意， ，解得， ， ，

故椭圆的方程为.

（2）依题意， ， ，直线，

设，则.

直线的方程为，令，得点的纵坐标为；

直线的方程为，令，得点的纵坐标为；

由题知，椭圆在点处切线斜率存在，可设切线方程为，

由，得，

由，得，

整理得： ，

将， 代入上式并整理得，解得，

所以点处的切线方程为.

令得，点的纵坐标为，

设，所以，

所以，

所以，

将代入上式， ，因为，所以.