Question

【题目】如图，内接于圆的正方形边长为1，圆内切于正方形，正方形内接于圆，···，正方形内接于圆，圆内切于正方形，正方形内接于圆，由此无穷个步骤进行下去记圆的面积记作，记正方形的面积记作．

（1）求的值

（2）记的所有项和为，的所有项和为，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）．

【解析】

（1）求出圆、的半径和正方形、的边长后可求的值．

（2）数列、都是无穷递缩等比数列，利用无穷递缩等比数列的和的计算公式可求，从而得到的值．

（1）圆的半径为1，故．

正方形为圆的内接正方形，故其边长为，其面积．

圆为正方形的内切圆，故其半径为，故．

正方形为圆的内接正方形，故其边长为，其面积．

综上，，，，．

（2）设圆的半径为，

因正方形内接于圆，故正方形的边长为，

而内切于正方形，故圆的半径为，

正方形内接于圆，

故正方形的边长为，

所以，，

所以数列是首项为，公比为的无穷递缩等比数列，

是首项为，公比为的无穷递缩等比数列，

所以,，所以．