Question

10．某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成频率副本直方图，如图所示：（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）
（1）求这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小数）；
（2）在全市进入决赛的学生中，按照成绩[110，130），[130，150]分层抽取6人组进行决赛前培训，在从6人中选取2人担任组长，求组长中至少一名同学来自于高分组[130，150]的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意和频率分布直方图列出方程，求出a，由此能求出这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分．
（2）由题意知抽取的6人中，成绩在[110，130）间的有4人，为A₁，A₂，A₃，A₄，成绩在[130，150）间的有2人，设为B₁，B₂，从6人中选取2人担任组长，利用列举法能求出组长中至少一名同学来自于高分组[130，150]的概率．

解答 解：（1）由题意和频率分布直方图，得：$\frac{500}{500×20}$=0.0144+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，
解得a=0.0020，
∴这500名学生中进入决赛的人数为：（0.0040+0.0020）×500×20=60，
进入决赛学生的平均分为：
40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+140×0.0020×20=80.48≈80.5，
∴这500名学生中有60人进入决赛，进入决赛学生的平均分为80.5分．
（2）由题意知抽取的6人中，成绩在[110，130）间的有4人，为A₁，A₂，A₃，A₄，
成绩在[130，150）间的有2人，设为B₁，B₂，
从6人中选取2人担任组长，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
其中至少一名同学来自高分组[130，150）的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共9种情况，
∴组长中至少一名同学来自于高分组[130，150]的概率p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图、概率、列举法等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．