Question

长方形中，，．以的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．

(1) 求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；
(2) 过点的直线交(1)中椭圆于两点，是否存在直线，使得以线段为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)；(2) 存在过的直线:，理由见解析．

试题分析：（1）由题意可得点的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知，求得，进而根据和的关系求得，则椭圆的方程可得；（2）设直线的方程为．与椭圆方程联立，设两点坐标分别为．根据韦达定理求得和，进而根据若以为直径的圆恰好过原点，推断则，得知，根据求得代入即可求得，最后检验看是否符合题意．
(1)由题意可得点的坐标分别为．
设椭圆的标准方程是.
，．
.
椭圆的标准方程是
(2) 由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
联立方程,消去整理得．
设两点的坐标分别为
∴．
若以为直径的圆恰好过原点,则,所以，
所以,，即．
所以，即
得满足，
所以直线的方程为,或.
故存在过的直线:使得以弦为直径的圆恰好过原点．