Question

【题目】已知平面内动点到两定点和的距离之和为4.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知直线和的倾斜角均为，直线过坐标原点且与曲线相交于， 两点，直线过点且与曲线是交于， 两点，求证：对任意， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆定义可得动点的轨迹E是以定点和为焦点的椭圆，且，从而得方程；

（Ⅱ）由题设可设直线的参数方程分别为； ，将直线的参数方程分别和椭圆联立后整理得： ； ，由和，从而由韦达定理求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）解： 则根据椭圆的定义得：动点的轨迹E是以定点和为焦点的椭圆，且，

，

可得动点M的轨迹的方程为．

（Ⅱ）证明：由题设可设直线的参数方程分别为

； ．

将直线的参数方程分别和椭圆联立后整理得：

； ．

则由参数t的几何意义、根与系数的关系及椭圆的对称性有：

；

，

故．