Question

函数f（x）=e^xlnx-1的零点个数是    个．

Answer 1

【答案】分析：由于连续函数f（x）=e^xlnx-1在[0，+∞）上是增函数，f（1）＜0，f（e）＞0，可得函数f（x）=e^xlnx-1在[1，e）上有唯一零点，由此得到答案．
解答：解：由于连续函数f（x）=e^xlnx-1在[1，+∞）上是增函数，
证明：设 1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=-＜（lnx₁-lnx₂）．
由 1≤x₁＜x₂ 可得 ＞0，lnx₁＜lnx₂，故（lnx₁-lnx₂）＜0，故，f（x₁）＜f（x₂），故f（x）=e^xlnx-1在[1，+∞）上是增函数．
再由f（1）=0-1=-1＜0，f（e）=e^e-1＞0可得 f（1）f（e）＜0，
故函数f（x）=e^xlnx-1在[1，e）上有唯一零点，
故答案为 1．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．