Question

已知函数f（x）=e^xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e^2x-1；
（3）设n∈N^*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．

Answer 1

分析：由题意（1）有函数解析式可以先求出函数的定义域，再对函数求导，令导函数大于0解出函数的单调递增区间，令导函数小于0解出函数的减区间；
（2）利用分析法分析出要证明的等价的不等式令g(x)=ln(x+1)-

2x-1

x+1

，由g′(x)=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

，得出函数等价求解函数在定义域上的最小值即可求得；
（3）有（2）得ln(x+1)＞

2x-1

x+1

，即ln(x+1)＞2-

3

x+1

，然后把x被k（k+1）代替，即可．

解答：解：（1）定义域为（0，+∞），由f′（x）=e^xlnx（lnx+1），
令f′(x)＞0，解得x＞

1

e

；令f′(x)＜0，解得0＜x＜

1

e

．
故f（x）的增区间：(

1

e

，+∞)，减区间：(0，

1

e

)，
（2）即证：(x+1)ln(x+1)＞2x-1?ln(x+1)＞

2x-1

x+1

?ln(x+1)-

2x-1

x+1

＞0
令g(x)=ln(x+1)-

2x-1

x+1

，由g′(x)=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）_min=g（2）=ln3-1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3-1＞0得证，
（3）由（2）得ln(x+1)＞

2x-1

x+1

，即ln(x+1)＞2-

3

x+1

，
所以ln[k(k+1)+1]＞2-

3

k(k+1)+1

＞2-

3

k(k+1)

，
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1＞(2-

3

1×2

)+(2-

3

2×3

)+…+[2-

3

n(n+1)

]=2n-3+

3

n+1

＞2n-3．

点评：此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了分析法证明不不等式，还考查了不等式证明中的简单放缩及求和时的裂项相消法．