Question

已知函数f（x）=e^xlnx（x＞0），e为自然对数的底．
（1）当x=a时取得最小值，求a的值；
（2）令b=e^a，求函数y=log_bx在点P（e，e）处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=e^xlnx（x＞0），知f′（x）=e^xlnx•（lnx+1），x＞0，由f′（x）＞0，得x＞

1

e

，由f′（x）＜0得0＜x＜

1

e

．由此能求出a．
（2）由b=e

1

e

，知y=elnx，（x＞0），y′=

e

x

，由此能求出P处的切线方程．

解答：解：（1）∵f（x）=e^xlnx（x＞0），
∴f′（x）=e^xlnx•（lnx+1），x＞0，
由f′（x）＞0，得x＞

1

e

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

1

e

．
当x=

1

e

时，f（x）有最小值，
此时a=

1

e

．
（2）∵a=

1

e

，b=e^a，
∴b=e

1

e

，y=elnx，（x＞0），y′=

e

x

，
P处的切线斜率k=f′(e)=

e

e

=1，
∴切线方程为y-e=x-e，
即x-y=0．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，具体涉及到导数的性质、导数的几何意义．切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答．