Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x，x∈（-∞，2]}\\{{a}^{x-1}，x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，2）
• C． [2，3）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 根据函数的解析式利用函数的单调性的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{a＞1}\\{a≥2（3-a）}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x，x∈（-∞，2]}\\{{a}^{x-1}，x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$ 是（-∞，+∞）上的增函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{a＞1}\\{a≥2（3-a）}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜3}\\{3a≥6}\end{array}\right.$，求得2≤a＜3，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．