Question

已知直三棱柱的三视图如图所示，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得四边形为矩形，为的中点，又为中点，所以为中位线，所以 ∥所以 ∥平面
（Ⅱ）（Ⅲ）为线段中点

解析试题分析：（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，
得四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，所以 ∥，    2分
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.                          5分

，则.
所以 ， 
设平面的法向量为，则有
所以  取，得.            6分
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 .
所以二面角的余弦值为.          8分
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.               9分
因为与成角         10分
所以，解得，舍去.
所以当点为线段中点时，与成角.  &n