Question

2．已知{a_n}是递增的等比数列，且a₂+a₃=-1，那么首项a₁的取值范围是$（{-∞\;，\;-\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 由已知得a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$，q＞0，a₁（q-1）＞0，由此能求出a₁的取值范围．

解答 解：∵{a_n}是递增的等比数列，且a₂+a₃=-1，
∴q＞0，且${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=-1，
∴a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$，
∵{a_n}是递增的等比数列，∴a₂＞a₁，∴a₁q＞a₁，∴a₁（q-1）＞0，
同理，a₃＞a₂，即a₁q²＞a₁q，即a₁q（q-1）＞0，
∴q＞0，a₁（q-1）＞0，
当a₁＞0时，有q＞1，由a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$＞0，得：q（1+q）＜0，得：-1＜q＜0，矛盾，舍去；
当a₁＜0时，有0＜q＜1，由a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$＜0，得：q（1+q）＞0，得：0＜q＜1符合．
故当0＜q＜1时，t=q+q²单调增，取值为（0，2），
∵a₁=-$\frac{1}{q+{q}^{2}}$，∴a₁的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$）．
故答案为：$（{-∞\;，\;-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．