Question

3．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+1）=-f（x），且当0≤x＜1时，有f（x）=x，则函数g（x）=|lgx|-f（x）的零点个数为（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 11

Answer 1

分析 由已知可知函数f（x）为以2为周期的周期函数，在求出f（x）在（-1，0]上的解析式，画出函数g（x）=|lgx|与y=f（x）的图象，数形结合得答案．

解答 解：∵对于任意的x都满足f（x+1）=-f（x），
∴f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
∴函数是周期函数，周期为2，
设-1＜x≤0，则0＜x+1≤1，则f（x+1）=x+1，
∴当-1＜x≤0时，有f（x）=-f（x+1）=-（x+1），
函数g（x）=|lgx|-f（x）的零点个数即函数y=|lgx|与y=f（x）的交点个数．
作出函数y=|lgx|与y=f（x）的图象如图：
由函数图象可知有6个交点．
故选：C．

点评 本题考查抽象函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，关键在于根据题意，分析出函数f（x）的解析式，是中档题．