Question

20．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足3S_n²+a_n=3a_nS_n
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n+1}$，其前n项和为T_n，求满足T_n＞S_n的n的最小值．

Answer 1

分析 （I）当n≥2时，其前n项和S_n满足3S_n²+a_n=3a_nS_n，a_n=S_n-S_n-1，代入化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II））b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和”可得：其前n项和为T_n，解出T_n＞S_n，即可得出．

解答 解：（I）∵当n≥2时，其前n项和S_n满足3S_n²+a_n=3a_nS_n，a_n=S_n-S_n-1，
∴3S_n²+S_n-S_n-1=3（S_n-S_n-1）S_n，
化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为3，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴S_n=$\frac{1}{3n-2}$，当n=1时也成立，
∴S_n=$\frac{1}{3n-2}$，?n∈N^*．
（II）b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n+1}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴其前n项和为T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$，
若满足T_n＞S_n，则$\frac{n}{3n+1}＞\frac{1}{3n-2}$，化为3n²-5n-1＞0，解得$n＞\frac{5+\sqrt{37}}{6}$，
∴满足T_n＞S_n的n的最小值是2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式的解法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．