Question

6．如图，PA是圆的切线，A是切点，M是PA的中点，过点M作圆的割线交圆于点C，B，连接PB，PC分别交圆于点E，F，EF与BC的交点为N．
求证：
（Ⅰ）EF∥PA；
（Ⅱ）MA•NE=MC•NB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用切割线定理和相似三角形的判定，可得△PMC∽△BMP，再由相似三角形的性质和两直线平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）由两直线平行的性质定理和对应角相等，可得△PMC∽△BNE，再由对应边成比例，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）由切割线定理，得MA²=MC•MB，
而MA=PM，
∴PM²=MC•MB
即$\frac{PM}{MB}=\frac{MC}{PM}$，且∠PMC=∠BMP，
∴△PMC∽△BMP，
∴∠MPC=∠MBP，而∠MBP=∠PFE，
∴∠MPC=∠PFE，∴EF∥PA；
（Ⅱ）∵PM∥EN，∴∠PMC=∠BNE，
又∵∠MPC=∠NBE
∴△PMC∽△BNE，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{NB}{NE}$，而MA=PM，
∴$\frac{MA}{MC}=\frac{NB}{NE}$，
即MA•NE=MC•NB．

点评 本题考查圆的切割线定理、相似三角形的判定和性质的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．